考研竞赛数学(考研竞赛数学官网)

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考研竞赛数学，考研竞赛数学官网

前不久，笔者有幸接触到上个月末进行的《2022认证杯全国大学生数学竞赛》，大学生数学竞赛，实质上与考研类似，也是对大学数学学习成果的一部分总结与扩展，可能存在超越考纲的难点，但也有很多是对考研知识的扎实回顾。意识到这一点，我在翻看考卷的过程中，毫不意外地发现了一些与考研知识点紧密相关的题目，而这是考研中扩充知识面的一大助力，那么话不多说开始今天的分享吧。

计算定积分

.

这道题初看便知是一道开胃菜，那么它考察了哪方面的考研内容技巧呢？

首先便是定积分对称区间下被积函数的奇偶性，奇零偶倍：

我们很快就能观察出来对于可分离的被积函数的第一项

，

这是关于0 的对称区间下的一个奇函数，因而

这部分的积分自然就得到了0 这个结果。

而另一部分

，

则显然是偶函数了，也就可以化成

这样的形式。

显然三角函数与指数函数比值的形式并不容易直接计算，我们需要继续思考突破点。

于是我们便观察到了这一被积函数的对称性，即换元令x =- u ，得到了

而如果同时让原被积函数上下同乘e x ，能得到

.

因此，定积分

可化为

,

即

.

化简到这个程度，可以使用作为考研解题技巧的Wallis积分公式求解，即

.

就能得到

.

伴随着这道竞赛题的解题过程，我们就复习了定积分对称区间与被积函数奇偶性的关系，定积分的换元法消项与Wallis积分公式这三个在考研中能发挥重要作用的知识点，同学们掌握了吗？

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