线性代数考研(线性代数考研哪个老师好)

线性代数考研，线性代数考研哪个老师好

上次我们讲了矩阵的意义，今天让我们了解一下矩阵的秩是什么，话不多说，让我们开门见山。

首先，所谓矩阵的秩，这种说法是单词rank演变过来的，rank有“行，列，排队，秩序的意思在里面”，所以数学中用 rank（A）来表述矩阵的秩,有时候简写成r（A），A的意义是指代某个矩阵。数学尽在不言中，大家看几个例子就能明白了。

这是一个二阶矩阵，它除了主对角线其余地方都是0，我们叫它对角矩阵，它的秩是2：

数学表述

这是一个三阶矩阵，它的秩是3：

这也是一个三阶矩阵，然而有一行全是0，它的秩是2：

这还是一个三阶矩阵，它有两行是0，一行不是0，我们说它的秩是1：

于是，你仿佛懂了，我再给你拿出了一个四阶矩阵：

你说，这个矩阵秩是4，没有问题。

于是你说，我懂了，秩好简单啊！我就拿出了这个给你看，如果你说他们的秩都是3，那就错了：

好了，我刚才直入主题，为的是培养了大家对秩的感性认识，大家应该已经对今天的内容有所熟悉了，现在开始具体说一说矩阵的秩有什么意义，它究竟是干什么的。

现在来说一下矩阵的运算性质，想要知道矩阵的秩是多少，可以约定某一行或者列不动，拿这一行去相加减乘除别的行或者列，乘除正负都可以，但是乘除的东西最好是常数，比如（1，-1，2，0.5.......）。

这个矩阵秩是1

于是，我们拿第二行减第一行，第二行变成了0，0，0。

拿第三行减第一行或者第二行，第三行变成了0，0，0。

化成最简形式后，这个矩阵的秩是1

再比如这个：

这个矩阵秩是2

我们用第二行减第一行的两倍，第二行就被约掉了。

用第三行减第一行的三倍，发现约不掉了，约不掉的数剩下就可以了。

最核心的就是一定要化简成最简形式。

那么它的秩是2。

再比如这个：

我们用下面减上面，再用一次下面减上面。然后用上面减下面，（最后上面除以个2，除不除都无所谓的），发现它的秩是2。这种矩阵的加减乘除的变换其实就是一种线性变换。

总之，就是这样反复的加啊，减，乘除一个常数什么的，我们最终能知道这些矩阵的秩是多少。

矩阵的秩有什么用呢？我不想直接了当地说，它是线性空间之间的一种映射关系，因为怕言出突兀而令大家难以接受：

该图引自知乎马同学

接下来，我给大家简单介绍一些矩阵的数学性质：

矩阵转置的秩等于它本事的秩

举个例子：

矩阵的转置就是把列倒过来成行，行倒过来成列

再举个例子：

什么意思呢？两个矩阵AB乘一块儿，乘出来的新矩阵C的秩比它们中秩最小的还可能小。

比如：

这个新的矩阵的秩是1，和之前的B矩阵一样大，而本来秩是3的A矩阵却没能把它3的秩流传下来。

矩阵的秩还有许多性质，问题留给大家，就不一一过了：

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