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多维分布包括三种：联合，边缘，条件。后两种是多维变量独有的分布。我们先从边缘分布看起。先总体把握一下：X,Y放在一块构成一个向量（X,Y），其分布称为联合分布，而X自己作为随机变量，其分布称为（X,Y）关于X的边缘分布。当然分布包括三种：分布函数，分布律和概率密度。前面加上边缘，就得到三种边缘分布。何为（X,Y）关于X的边缘分布函数FX(x)？把握两点即可：一、随机变量自己的分布函数；二、它和联合分布函数的关系：对比FX(x)和F(x，y)的定义，我们发现前者不含y，如何把F(x，y)中的y变没呢？注意到F(x，y)=P{X<=x,Y<=y}中的“X<=x”和“Y<=y”为两个事件，如果我们令y趋于正无穷，则“Y<=正无穷”为必然事件，那么F(x，正无穷)=P{X<=x,Y<=正无穷}=P{X<=x}。如果我们已知X和Y的联合分布函数，要求关于一个随机变量的边缘分布函数，只需求极限即可（令一个变量趋于正无穷）。
弄明白边缘分布函数后，边缘分布律和边缘概率密度就是类似的了。关于边缘分布律，也是把握两点：一、（X,Y）二维离散型随机变量，X自己是一维离散型随机变量，它自己应有分布律，我们把这个分布律称为（X,Y）关于X的边缘分布律。二、边缘分布律和联合分布律的关系。（X,Y）关于X的边缘分布律P{X=xi}=pi（i=1,2，…）中不含j，意味着P{X=xi}=pi对所有的j都成立。故P{X=xi}=P{X=xi,Y=y1}+P{X=xi,Y=y2}+…。也就是说，如果我们知道了联合分布律，要求边缘分布律，做加法即可。反过来，如果我们已知边缘分布律，要求联合分布律。首先要有“已知边缘求联合”的意识，之后我们可以把联合分布律的表画出来，并把边缘分布律写在一边，再结合已知条件，不难把联合分布律的表填完整。对于二维离散型随机变量，其分布问题关键是写出联合分布律，求边缘分布律即做加法，求条件分布律做除法即可。
根据离散和连续的对应关系，我们不难得到边缘概率密度。其概念也是把握两点：一、(X,Y)关于X的边缘概率密度其实就是随机变量X自己的概率密度，这是一维随机变量的概率密度，与第二章讲的概率密度无区别，加上边缘是为了指明它与联合概率密度的关系，当然也是为了区分与二维随机变量相关的两个概率密度（联合与边缘）；二、边缘概率密度与联合概率密度是什么关系？我们可以通过离散型随机变量和连续型随机变量的对应关系来把握。我们通过对联合分布律做加法就得到了边缘分布律，而积分可以理解为“连续求和”，所以我们通过对联合概率密度求积分可以得到边缘概率密度。
以上是对边缘分布的讨论，下面我们来看条件分布。首先，考研范围内只须考虑条件分布律和条件概率密度，不用管“条件分布函数”。我们以下面的二维离散型随机变量为例，讨论条件分布律。先给出二维随机变量的联合分布律：P{X=0,Y=0}=1/4,P{X=0,Y=1}=1/4,P{X=1,Y=0}=1/2,P{X=1,Y=1}=0。我们考虑下面的概率P{X=0|Y=0}，不难发现这是一个条件概率，我们按照条件概率的定义写出来P{X=0|Y=0}=P{X=0，Y=0}/P{Y=0}=（1/4）/(1/4+1/2)。那么这是不是条件分布律呢？不是，条件分布律要给出Y=0的条件下，X的所有可能取值及取这些值对应的概率。所以上面的式子只是给出了条件分布律中的一项。意识到这点，我们不难写出另一个式子P{X=1|Y=0}=P{X=1，Y=0}/P{Y=0}=（1/2）/(1/4+1/2)。这两个式子合起来构成一个完整的分布律，我们称其为给定Y=0的条件下X的条件分布律。通过这个小例子，我们思考一下：什么是条件分布律？条件分布律是一些条件概率。我们观察最终结果，不难发现结果是比值，分子是联合分布律中的一项，分母是边缘分布律中的一项。我们可以简单地记成：“联合/边缘=条件”。而实际做题过程中，如果我们能写出联合分布律，写出边缘分布律就是做加法，而写条件分布律就是做除法。实际是联合分布律中的项占该项所在行（或列）的数字的和的比例。我们把上面讨论的内容总结一下，就得到了一般的条件分布律的定义。我们称P{X=xi|Y=yj}=pij（i=1,2，…）为给定Y=yj的条件下，X的条件分布律。在这个定义式中，要分清哪个指标是固定的，哪个指标是可变的。
条件概率密度可以依据离散和连续的对应关系来理解。如对于条件分布律，有“联合/边缘=条件”，那么相应地，条件概率密度等于联合概率密度除以边缘概率密度,即fX|Y(x|y)=f(x,y)/fY(y)。
下面我们对多维分布做一个小结：多维分布分成三个部分：联合分布，边缘分布和条件分布。这三部分基本的要求是理解定义和性质，其中联合分布函数有四条性质，前三条由一维分布函数推广而来，第四条性质通过画图理解；联合分布律和联合概率密度的性质（非负性和归一性）可作为充要条件；边缘分布函数，分布律和概率密度其实是一维分布，自然满足一维分布的性质；条件分布律和条件概率密度也满足非负性和归一性。多维分布这部分内容对应考研数学两道大题：多维分布的计算和求随机变量函数的分布。有了对基本概念的透彻理解，掌握相应的方法就水到渠成了。
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