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摘要：在数学备考的过程中，我们大都会把自己沉浸习题的海洋里，做题，查答案，做题，查答案，如此反复，不免枯燥。于是，小编找来一些有趣的数学小题目，快利用你的碎片时间来挑战一下吧。
1、设函数f(x)在(-∞，+∞)内单调有界，{xn}为一数列。下面命题正确的是( )
A、若{xn}收敛，则{f(xn}收敛。
B、若{xn}单调，则{f(xn)}收敛。
C、若{f(xn)收敛，则{xn}收敛。
D、若{f(xn)}单调，则{xn}收敛。
解题思路
（1）——（C）（D）都不对的关键在于：在本题条件下，就算相应的函数值列收敛或单调，自变量列xn可以是趋向正无穷的，没有极限。
（2）——（A）情形只知道自变量列xn收敛，它可能不是单调的。
单调的函数不一定连续。且，“如果单调函数在单调区间内一点x0间断，则只能是跳跃间断。”（实际上，如果函数在x0的左右极限相等，则f（x0）只能等于极限值，否则就破坏了单调性。）
设想xn既有子列从左边，又有子列从右边趋向点x0，则自变量列收敛于点x0而相应的函数值列却不收敛。故（A）错。
反例：x小于0时f=x，f（0）=1，x大于0时f=2+x
（3）——（B）对。在本题条件下，若自变量列单调，相应的函数值列必定也单调。且是有界的。
2、f(x)在[a，b]上可微，且f‘(x)在（a，b）内单调增加，又f(a)=f(b)=A（常数），证明，在（a，b）内，恒有f(x)<A.
解题思路
这是个运用“构造法”的好题。
f(x)在[a，b]上可微，自然连续。f(a)=f(b)=A，故由洛尔定理，（a，b）内存在一点c，f′(c)=0
已知f′(x)单增，故零点唯一。且在（a，c）内f′(x)＜0，f(x)单减，f(x)<f(a)
而在（c，b）内f′(x)＞0，f(x)单增，f(x)<f(b)
从而在（a，b）内，恒有f(x)<A.
3、计算极限小总结
（1）非零的因式先求极限。
（2）0/0型未定式题目的两个主要类型——
分子（或分子分母各）是“等价无穷小相减产生的高阶无穷小”——
应对手段：连续使用洛必达法则。
修练方法：利用五个常用函数的幂级数展开式，尽可能多记一些等价无穷小
分子分母是“不同阶的无穷小的线性组合”，（无穷小多项式）——
应对手段：(化零项法)分子分母同除以商式中的最低阶的无穷小，各项分别取极限。
4、（每段是初等函数的）分段函数求导，分界点处用定义计算，各段用法则与公式。老老实实地记与做，既简明又少犯错误。
当然，你可以懂得更细一点。可导一定连续。不连续必然不可导。连续是讨论可导性的前提。
函数在点a可导的充分必要条件是左右导数存在且相等。
在定义分界点a的一侧，比如右则。可以用定义求得右导数。同时，在右側这一段内，你用法则与公式求出了导函数。自然就会产生一个想法，能否以此求极限得到点a的导数。这是锤炼知识及思维细密性的好时机。
（1）如果求极限，是求导函数在点a的右极限。这个右极限存在吗？
（2）按照定义求右导数。“右导数”与“导函数在点a的右极限”是两回事。
（3）如果这个右极限存在，它和“右导数”相等吗？
用拉格郎日公式可以证明，“如果导函数在点a的右极限存在，则函数在点a的右导数一定存在，且两者相等。”（一个好练习题！）
左侧可以类似讨论。
结论：验证了分段函数在分界点a连续后，在两边区间内各自求导。令x趋于a，分别求导函数的极限。若两者相等，它就是函数在点a的导数。若两者不等，函数在点a不可导。
前提很清晰，这样处理也可以。
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