数学寒假作业及规划

数学寒假作业及规划

　　考研帮说：数学的复习就是读书+做题+思考；同时还需要科学的学习计划，才能迅速并有效地掌握所学知识。为此帮帮制定这个寒假数学学习计划，希望同学在学习中能达到事半功倍的效果。

　　►第一天

　　学习任务：极限的概念、性质、四则运算法则

　　大纲要求：

　　1.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系

　　2.掌握极限的性质及四则运算法则

　　重难点提示：

　　数列极限与子列极限关系，函数极限的保号性，函数极限与数列极限的关系及四则运算

　　备注：

　　1.函数极限存在的充要条件是左极限、右极限存在且相等

　　2.使用极限四则运算的前提是参与运算的极限均存在

　　►第二天

　　学习任务：无穷小的比较

　　大纲要求：

　　1.理解无穷小量、无穷大量的概念

　　2.掌握无穷小量的比较方法

　　3.会用等价无穷小量求极限

　　重难点提示：

　　高阶，等价无穷小的定义，等价无穷小替换定理，八类常用的等价无穷小

　　备注：

　　1.无穷小的比较实质是趋于零速度快慢的比较

　　2.掌握八类常用的等价无穷小的推广，并灵活应用

　　►第三到五天



　　►第六天

　　学习任务：夹逼定理、单调有界原理

　　大纲要求：

　　1.掌握极限存在的两个准则

　　2.会利用夹逼定理和单调有界原理求极限

　　重难点提示：

　　夹逼定理和单调有界原理在计算极限中的运用

　　备注：

　　1.夹逼定理求极限时，需对式子进行适当的放缩；

　　2.由递推公式给出的数列一般先用单调有界原理判断该数列极限的存在性

　　►第七天

　　学习任务：连续的定义与性质

　　大纲要求：

　　1.理解函数连续性的概念

　　2.了解连续函数的性质和初等函数的连续性

　　3.理解闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质

　　重难点提示：

　　1.函数在一点处连续的定义

　　2.闭区间上连续函数性质的应用

　　备注：

　　1.判断分段函数在分段点处连续性时通常需要验证：f(x0+0)=f(x0-0)=f(x0)

　　2.考研中闭区间上连续函数的性质易与中值定理结合考查，现阶段了解内容即可.

　　►第八天

　　学习任务：间断点类型的判断

　　大纲要求：会判断函数间断点的类型

　　重难点提示：判断函数间断点的类型

　　备注：函数的无定义的点一定是间断点

　　►第九天

　　学习任务：导数的定义

　　大纲要求：

　　1.理解导数概念及其几何意义

　　2.了解导数的物理意义，并会用导数描述一些物理量（数一、数二）

　　3.会求平面曲线的切线和法线方程

　　重难点提示：

　　1.函数在一点处导数定义

　　2.平面曲线过某点处的切线方程和法线方程

　　3.难点：灵活运用导数的定义

　　备注：求函数在某点处的导数就是计算0/0型极限

　　►第十天

　　学习任务：微分的定义；函数连续、可导、可微三者关系

　　大纲要求：

　　1.函数的可导性与连续性之间的关系

　　2.理解微分的概念及导数与微分的关系

　　3.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性

　　4.会求函数的微分

　　重难点提示：

　　1.函数的可导、连续、可微之间的关系

　　2.难点：微分的定义的理解

　　备注：

　　1.可导与可微的关系是等价的

　　2.导数和微分的本质是不同的：导数是增量比的极限：微分是因变量增量的线性主部

　　►第十一天

　　学习任务：导数的四则运算法则和复合函数的求导法则

　　大纲要求：掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则

　　重难点提示：复合函数的求导法

　　备注：

　　一定要熟记基本初等函数的导数公式；

　　在求复合函数的导数时，要明白哪个是自变量，哪个是因变量。

　　►第十二天

　　学习任务：各种函数求导法则

　　大纲要求：

　　1.会求分段函数的导数；

　　2.会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数

　　重难点提示：

　　1.分段函数的分段点处的导数

　　2.隐函数的求导方法

　　3.参数方程的二阶导数

　　4.反函数的二阶导数

　　备注：

　　1.在判定分段函数的分段点是否可导时，一般利用导数定义；

　　2.隐函数的求导一共有3种方法（在方程两边直接求导；公式法；微分不变性）

　　3.参数方程求二阶导数的方法，掌握解题思路；

　　4.反函数求二阶导数的方法，理解导数即是微分的商，灵活求导。

　　►第十三天

　　学习任务：高阶导数的计算

　　大纲要求：

　　1.了解高阶导数的概念

　　2.会求简单函数的高阶导数

　　重难点提示：

　　求函数的高阶导数在一点的导数值；

　　备注：

　　求n阶导数的基本方法有：

　　1.数学归纳法

　　2.递推公式法

　　3.用泰勒公式和幂级数展开进行比较求一点的n阶导数等

　　►第十四天

　　学习任务：导数应用：极值和最值

　　大纲要求：

　　1.理解函数的极值概念

　　2.掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法

　　3.掌握函数最大值和最小值的求法及其应用

　　重难点提示：

　　1.函数单调性的应用（证明不等式）

　　2.函数极值的必要条件及两个充分条件

　　3.函数最值的求法

　　备注：

　　求函数f(x)极值的一般步骤为：

　　（1）求f'(x)；

　　（2）求出函数f(x)的所有驻点和一阶导数不存在的点

　　（3）然后再利用判定函数极值的充分条件进行判定

　　►第十五天

　　学习任务：导数应用：函数凹凸性、拐点和渐近线

　　大纲要求：

　　1.会用导数判断函数图形的凹凸性

　　2.会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线

　　3.会描绘函数的图形

　　重难点提示：

　　如何判定一个点是否为拐点的方法；

　　曲线拐点的必要条件和充分条件；

　　三种渐近线的求法

　　备注：

　　求曲线f(x)在区间I内拐点

　　的一般步骤为：

　　(1)求f''(x)；

　　(2)令f''(x)=0，解出这方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f''(x)不存在的点；

　　(3)然后再利用判定拐点的充分条件进行判定。

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