2023考研数学：线性代数知识点汇总--考研乐学帮

2023考研数学：线性代数知识点汇总

　　摘要：尽管考研数学的考查内容各个学校的侧重点不一样，但是都是在考研大纲里面的更改。因此，了解好考研数学的每一个小知识点，才能全面掌握考研数学。帮帮就帮大家整理了一些线性代数的知识点，分享给在数学上犯愁的同学们。

　　►【行列式】

　　1、行列式本质——就是一个数

　　2、行列式概念、逆序数

　　考研：小题，无法联系其他知识点，当场解决。

　　3、二阶、三阶行列式具体性计算

　　考研：不会单独出题，常常结合伴随矩阵、可逆矩阵考察。

　　4、余子式和代数余子式

　　考研：代数余子式的正负是一个易错点，了解代数余子式才能学习行列式展开定理。

　　5、行列式展开定理

　　考研：核心知识点，必考！

　　6、行列式性质

　　考研：核心知识点，必考！小题为主。

　　7、行列式计算的几个题型

　　①、划三角（正三角、倒三角）

　　②、各项均加到第一列（行）

　　③、逐项相加

　　④、分块矩阵

　　⑤、找公因

　　这样做的目的，在行/列消出一个0，方便运用行列式展开定理。

　　考研：经常运用在找特征值中。

　　⑥数学归纳法

　　⑦范德蒙行列式

　　⑧代数余子式求和

　　⑨构造新的代数余子式

　　8、抽象型行列式（矩阵行列式）

　　①转置

　　②K倍

　　③可逆

　　③伴随

　　④题型丨A+B丨；丨A+B-1丨；丨A-1+B丨型

　　（这部分内容放在第二章，但属于第一章的内容）

　　考研：出小题概率非常大，抽象性行列式与行列式性质结合考察。

　　►【矩阵】

　　1、矩阵性质

　　考研：与伴随矩阵、可逆矩阵、初等矩阵结合考察。

　　2、数字型n阶矩阵运算

　　①方法一：秩是1

　　②方法二：含对角线上下三角为0的矩阵

　　③方法三：利用二项式定理，拆写成E+B型

　　④方法四：利用分块矩阵

　　⑤方法五：P-1AP=B；P-1APP-1AP=B2

　　方法五涉及相似对角化知识。

　　方法三涉及高中知识。

　　考研：常见在大题出现，是大题的第一问！看到数字型n阶矩阵运算，一定出自这5个方法。

　　（二战考上，如果本题不会做，你的问题出在只掌握这五种方法的某几种，所以你是失败在归纳总结上了）

　　3、伴随矩阵

　　考研：伴随矩阵常与其他知识考察，与行列式、转置、K倍、可逆、伴随的伴随结合考察。

　　4、二阶矩阵的伴随矩阵

　　法则：主对角线互换、副对角线填负号。

　　考研：如果让求某个二阶矩阵的可逆矩阵，难点转化成如何计算它的伴随矩阵。

　　5、可逆矩阵两种求法

　　考研：可逆矩阵可与行列式、转置、K倍、伴随矩阵、可逆的可逆结合考察。

　　6、分块矩阵

　　考研：以小题出现

　　7、初等矩阵

　　考研：小题出现

　　8、正交矩阵、对称矩阵、反对称矩阵

　　考研：第二章先知道张什么模样，这部分内容在二次型、相似对角化考察。

　　9、秩（十个公式）

　　考研：把秩比作答题的第二种方法，在解决向量、方程组等相关知识点，可以用传统方法（解题速度慢），也可用秩，解题速度是传统方法的5倍！但是难懂。

　　►【向量】

　　1、几组定义（向量内积、向量的长度、单位化、正交）

　　考研：考单位化，但是如果想理解线性代数本质，向量内积、向量的长度要懂。

　　2、线性相关、无关的三大判别方法

　　⑴、利用行列式

　　⑵、向量个数＞维度，必相关

　　⑶、利用秩

　　考研：小题出现，很少结合其他章节知识点。

　　3、线性相关无关证明题三种思路

　　⑴、利用定义法

　　⑵、用秩

　　⑶、反证法

　　考研：大题考点，这部分内容可以与线性方程组结合，也可以与特征值特征向量结合，也可以与秩结合。至于如何结合，怎么结合，请自己归纳总结。

　　4、线性表出四大判别方法

　　⑴、利用行列式

　　⑵、利用秩

　　⑶、利用定义

　　⑷、利用方程组

　　考研：可小题、可大题，但是通是大题的某一问。

　　5、克拉默法则

　　考研：服务线性表出。

　　6、线性表出计算题三大思路

　　⑴、利用克拉默法则

　　⑵、构建方程组，抓0思想

　　⑶、与向量组结合考等价。

　　考研：大题考点！涉及部分方程组知识和初等行变换知识。

　　这部分内容涉及重要的数学思想：分类讨论！！！（大题爱考）

　　7、线性表出证明题四个理论

　　考研：大题小题都有，但是近几年小题居多。

　　8、极大线性无关组

　　考研：核心考点内容和2、3知识点一样，换汤不换药

　　9、等价向量组

　　考研：小题居多，很少与其它章节知识点结合。

　　►【线性方程组】

　　1、基础解系

　　（不懂就背下来，我当时考研到10月份才茅塞顿开。）

　　2、齐次线性方程组与非齐次线性方程组

　　⑴、常规求解

　　⑵、解含参数的方程组

　　（这部分内容最难在于化简，矩阵基础要牢固！！）

　　⑶、利用解的三个性质

　　⑷、通过矩阵运算，构造方程组再求解

　　考研：大题核心考点，历年考题向量和方程组会出其中一道，而方程组的出题概率高于向量！原因如下

　　①、解题方法多。

　　②、能与矩阵相关知识联系结合。

　　3、公共解、同解两种题型

　　考研：重要考点题！

　　►【特征值与特征向量】

　　1、特征值相关概念与计算

　　考研：必考题，这里面难点不在于特征值相关知识，而在于求解行列式相关知识。

　　2、特殊特征值

　　⑴、上三角矩阵、下三角矩阵。

　　⑵、秩为1的矩阵

　　⑶、某个矩阵拆分后，利用⑴和⑵结合。

　　3、相似矩阵概念及性质

　　考研：不会单独出，但一定会结合其他题目

　　4、相似矩阵两种考题

　　如果P-1AP=B

　　⑴若Aλ=λa→B(P-1a)=λ(P-1a)

　　⑵若Ba=λa→A(Pa)=λ(Pa)

　　考研：这部分内容是内容5的基础，但是如果单独出考题，不太可能。

　　5、对角矩阵的相似问题

　　核心内容：“搭桥”桥是Λ。

　　考研：核心重点考点！

　　本内容需要分类讨论、需要基础解系相关知识、又可以联系特征值、特征向量，性质方面也可全面考察。

　　6、反对称矩阵

　　考研：小题

　　7、实对称矩阵以及正交矩阵

　　考研：也是重要考点，大部分知识和前面一样，唯一不同之处在于多一个史密斯正交化。

　　►【二次型】

　　1、二次型相关概念

　　内容和微分方程有异曲同工之妙，记忆的内容比较多，但比较简单。

　　考研：出小题，比如填写一个负惯性指数。

　　2、矩阵的等价、相似、合同

　　考研：出小题，一定不可能出大题的。

　　3、化二次型为标准型、正定问题

　　考研：核心重点考点，内容本身没什么难度，只是把前面所有的知识综合起来。

　　这里不用细说，如果前面的相关内容复习的非常好，这部分内容学习起来会轻松很多。