2023年数学考研真题解析之一：等价代换

2023年数学考研真题解析之一：等价代换

2010 年考研数学尘埃落定，各家点评也纷至沓来，包括题型，难度，甚至个别难题都被作了精辟的解析，但是，今天我却要说一说大家都忽略的一道常规求极限题。请看数学三第十五题：

求极限：

这个极限属于幂指未定式0⁰ 型，利用对数法转化为 现在这个指数是一个 型未定式，许多考生都会很自信，罗比达法则相当实用，实际上有好多老师真题答案也是直接利用的罗比达法则，即使面对分子这样一个求导相当复杂的函数，由于它仅仅是一个趋于 的对数函数，我们就很难利用等价无穷小代换，但是仔细考察分子的真数 ，当 时， ，这是我们熟悉的等价无穷小，如果在乘积中，大家很自然会用等价无穷小代换，在这种情况下，如果加了对数之后也同样有，当 ， ，就会给我们的问题带来很大的简化，然而，很显然我们有 ，根本就不是无穷小，就更谈不上“： ”这个符号了，但是我们实际上可以在草稿纸上检验 ，有了这样一步分析，指数的分子就可以用等价代换（注意这里不同于等价无穷小代换，是一种极限相同的约分），也就是 ，现在我们在运用罗比达法则就相当简单了。

回顾我们怎样跨过这个题的障碍，也就是当我们遇到了按常规方法解下去相当复杂的情形，需要回过头来看看是什么路障会出现这个复杂，如果拆掉这个路障我们能怎样简化呢？现在不防在你的草稿纸上预算一下，路障前后题目的差距究竟有多远，最后让我们缩短差距消灭路障顺利达到目的地。

通过上面这个真题，我们在梳理一下未定式求极限的几个步骤：

1、 观察趋近方式。

2、 分析待求未定式的形式。

3、 利用等价代换（注意不仅仅是等价无穷小）化简未定式。

4、 利用罗比达法则再度化简。

5、 反复以上步骤。

以上简述了未定式求极限的步骤，而对于同学们来说难以掌握的不是步骤不会，也不是不会罗比达求导数，而是对于等价式积累太少，各大辅导书上仅仅总结常见的等价无穷小，通常忽略了一般等价代换的方法，例如这道真题，可见被自然对数作用的等价无穷小都是等价的，类似自然对数这样的函数同学们又知道多少呢？所以本文的目的就是希望同学们不要对常规简单题掉以轻心，做题目的时候要仔细分析，看看是不是每一步都是有理由的通过的，这样思考着训练会让大家发现自己的很多漏洞，同时总结这些漏洞，将使你的数学更严谨。

2023年数学考研真题解析之一：等价代换