2023年考研数学复习指导：两角和差公式总结

2023年考研数学复习指导：两角和差公式总结

本文为正在准备考研的同学们整理归纳了2023年考研数学复习指导：两角和差公式总结，希望对大家复习有所帮助。

2023年考研数学复习指导：两角和差公式总结

　　两角和差公式：

　　1、两角和与差的三角函数公式：

　　sin(&alpha+&beta)=sin&alphacos&beta+cos&alphasin&beta

　　sin(&alpha-&beta)=sin&alphacos&beta-cos&alphasin&beta

　　cos(&alpha+&beta)=cos&alphacos&beta-sin&alphasin&beta

　　cos(&alpha-&beta)=cos&alphacos&beta+sin&alphasin&beta

　　tan(&alpha+&beta)=(tan&alpha+tan&beta)/(1-tan&alphatan&beta)

　　tan(&alpha-&beta)=(tan&alpha-tan&beta)/(1+tan&alpha·tan&beta)

　　2、二倍角公式：

　　二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)

　　sin2&alpha=2sin&alphacos&alpha

　　cos2&alpha=cos^2(&alpha)-sin^2(&alpha)=2cos^2(&alpha)-1=1-2sin^2(&alpha)

　　tan2&alpha=2tan&alpha/[1-tan^2(&alpha)]

　　3、半角公式：

　　半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)

　　sin^2(&alpha/2)=(1-cos&alpha)/2

　　cos^2(&alpha/2)=(1+cos&alpha)/2

　　tan^2(&alpha/2)=(1-cos&alpha)/(1+cos&alpha)

　　另也有tan(&alpha/2)=(1-cos&alpha)/sin&alpha=sin&alpha/(1+cos&alpha)

　　4、实用公式：

　　sin&alpha=2tan(&alpha/2)/[1+tan^2(&alpha/2)]

　　cos&alpha=[1-tan^2(&alpha/2)]/[1+tan^2(&alpha/2)]

　　tan&alpha=2tan(&alpha/2)/[1-tan^2(&alpha/2)]

　　实用公式推导：

　　附推导：　sin2&alpha=2sin&alphacos&alpha=2sin&alphacos&alpha/(cos^2(&alpha)+sin^2(&alpha))......

　　(因为cos^2(&alpha)+sin^2(&alpha)=1)

　　再把分式上下同除cos^2(&alpha)，可得sin2&alpha=2tan&alpha/(1+tan^2(&alpha))

　　然后用&alpha/2代替&alpha即可。

　　同理可推导余弦的实用公式。正切的实用公式可过正弦比余弦得到。

　　5、三倍角公式：

　　三倍角的正弦、余弦和正切公式：

　　sin3&alpha=3sin&alpha-4sin^3(&alpha)

　　cos3&alpha=4cos^3(&alpha)-3cos&alpha

　　tan3&alpha=[3tan&alpha-tan^3(&alpha)]/[1-3tan^2(&alpha)]

　　三倍角公式推导：

　　附推导：

　　tan3&alpha=sin3&alpha/cos3&alpha

　　=(sin2&alphacos&alpha+cos2&alphasin&alpha)/(cos2&alphacos&alpha-sin2&alphasin&alpha)

　　=(2sin&alphacos^2(&alpha)+cos^2(&alpha)sin&alpha-sin^3(&alpha))/(cos^3(&alpha)-cos&alphasin^2(&alpha)-2sin^2(&alpha)cos&alpha)

　　上下同除以cos^3(&alpha)，得：

　　tan3&alpha=(3tan&alpha-tan^3(&alpha))/(1-3tan^2(&alpha))

　　sin3&alpha=sin(2&alpha+&alpha)=sin2&alphacos&alpha+cos2&alphasin&alpha

　　=2sin&alphacos^2(&alpha)+(1-2sin^2(&alpha))sin&alpha

　　=2sin&alpha-2sin^3(&alpha)+sin&alpha-2sin^3(&alpha)

　　=3sin&alpha-4sin^3(&alpha)

　　cos3&alpha=cos(2&alpha+&alpha)=cos2&alphacos&alpha-sin2&alphasin&alpha

　　=(2cos^2(&alpha)-1)cos&alpha-2cos&alphasin^2(&alpha)

　　=2cos^3(&alpha)-cos&alpha+(2cos&alpha-2cos^3(&alpha))

　　=4cos^3(&alpha)-3cos&alpha

　　即

　　sin3&alpha=3sin&alpha-4sin^3(&alpha)

　　cos3&alpha=4cos^3(&alpha)-3cos&alpha

　　三倍角公式联想记忆：

　　记忆方法：谐音、联想

　　正弦三倍角：3元减4元3角(欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似“正弦”))

　　余弦三倍角：4元3角减3元(减完之后还有“余”)

　　Ps：注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。

　　另外的记忆方法：

　　正弦三倍角：山无司令(谐音为三无四立)三指的是"3倍"sin&alpha，无指的是减号，四指的是"4倍"，立指的是sin&alpha立方

　　余弦三倍角：司令无山与上同理

　　6、和差化积公式

　　三角函数的和差化积公式

　　sin&alpha+sin&beta=2sin[(&alpha+&beta)/2]·cos[(&alpha-&beta)/2]

　　sin&alpha-sin&beta=2cos[(&alpha+&beta)/2]·sin[(&alpha-&beta)/2]

　　cos&alpha+cos&beta=2cos[(&alpha+&beta)/2]·cos[(&alpha-&beta)/2]

　　cos&alpha-cos&beta=-2sin[(&alpha+&beta)/2]·sin[(&alpha-&beta)/2]

　　三角函数的积化和差公式：

　　sin&alpha·cos&beta=0.5[sin(&alpha+&beta)+sin(&alpha-&beta)]

　　cos&alpha·sin&beta=0.5[sin(&alpha+&beta)-sin(&alpha-&beta)]

　　cos&alpha·cos&beta=0.5[cos(&alpha+&beta)+cos(&alpha-&beta)]

　　sin&alpha·sin&beta=-0.5[cos(&alpha+&beta)-cos(&alpha-&beta)]

　　和差化积公式推导：

　　附推导：

　　首先，我们知道sin(a+b)=sinacosb+cosasinb，sin(a-b)=sinacosb-cosasinb

　　我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb

　　所以，sinacosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

　　同理，若把两式相减，就得到cosasinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

　　同样的，我们还知道cos(a+b)=cosacosb-sinasinb，cos(a-b)=cosacosb+sinasinb

　　所以，把两式相加，我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb

　　所以我们就得到，cosacosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

　　同理，两式相减我们就得到sinasinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

　　这样，我们就得到了积化和差的四个公式：

　　sinacosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

　　cosasinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

　　cosacosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

　　sinasinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

　　有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式。

　　我们把上述四个公式中的a+b设为x，a-b设为y，那么a=(x+y)/2，b=(x-y)/2

　　把a，b分别用x，y表示就可以得到和差化积的四个公式：

　　sinx+siny=2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2)

　　sinx-siny=2cos((x+y)/2)sin((x-y)/2)

　　cosx+cosy=2cos((x+y)/2)cos((x-y)/2)

　　cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)sin((x-y)/2)

以上为“2023年考研数学复习指导：两角和差公式总结”内容，祝大家考试顺利，取得优异的考试成绩。

2023年考研数学复习指导：两角和差公式总结